17的因数有几个,1-20中的因数分别有几个?

17的因数有几个,1-20中的因数分别有几个?

给出不同的数字会有不同的17的因数有几个。

一下分别给出不同数字因数的: (1)1的因数:1; (2)2的因数:1、2; (3)3的因数:1、3; (4)4的因数:1、2、4; (5)5的因数:1、5; (6)6的因数:1、2、3、6; (7)7的因数:1、7; (8)8的因数:1、2、4、8; (9) 9的因数:1、3、9; (10)10的因数:1、2、5、10; (11)11的因数:1、11 ; (12)12的因数:1、2、3、4、6、12; (13)13的因数:1、13; (14)14的因数:1、2、7、14; (15) 15的因数:1、3、5、15; (16)16的因数:1、2、4、8、16; (17)17的因数:1、17; (18)18的因数:1、2、3、6、9、18; (19)的因数:1、19; (20) 20的因数:1、2、4、5、10、20。拓展资料:因数定义:在小学数学里,两个正整数相乘,那么这两个数都叫做积的因数,或称为约数。事实上因数一般定义在整数上:设A为整数,B为非零整数,若存在整数Q,使得A=QB,则称B是A的因数,记作B|A。但是也有的作者不要求B≠0。

先明确定义:将 整数集 记为 Z,对于 任意 整数 a, b ∈ Z (b ≠ 0),如果存在 整数 c ∈ Z 使得 a = bc,则称 b 整除 a,记为 b | a,并且称 b 是 a 的 因数(也叫做 约数 或 除数),a 是 b 的 倍数。

于是,对于任何一个 整数 a ∈ Z (a ≠ 0),显然有 a · 1 = a,(-a) · (-1) = a,我们称 ±a 和 ±1 为 a 的显然因数。

故,在整数范围内考虑,一个非零整数 a(≠ ±1) 的因数至 4 个,即,a 的显然因数:a 、1、 -1 和 -a,而 ±1 只有两个因数 1 和 -1。

进而,在 正整数范围 内考虑,一个正整数 a(≠ 1) 的因数至少有 2 个,即,a 和 1,而 1 时 只有 它自己 1个因数。

那么,一个正整数的正因数具体有几个呢?为了回答这个问题,我们需要引入素数的定义:对于 任意整数 p ∈ Z (p ≠ 0, ±1),如果 p 除了显然因数外没有其它因数,则称 p 为 素数(也称 质数 或 不可约数),否则 称 p 为 合数(也称 可约数)。

由于 整数集 Z 关于 0 是对称的,因此我们只需要研究清楚 正整数集 Z₊,负整数集 Z₋ 就自然清楚了。于是:以后 素数 和 合数 默认特指 大于 1 的 正整数。

在《初等数论》中有一个非常重要的定理,称为 算术基本定理:对于任意 正整数 n ∈ Z₊ (a > 1) ,必然有,

n = p₁p₂…pᵣ

其中 pᵢ( i = 1, 2, …, r) 皆为素数,并且在便考虑顺序的情况下,这个素因数分解式唯一。例如:

108 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3

显然,素因数 会有重复,于是我们将 上面的 素因数分解式 改写为:

n = p₁ᵃ¹p₂ᵃ²…pᵣᵃʳ,(p₁< p₂ <… <pᵣ) ⑴

称为 a 的 标准素因数分解式。例如:

108 = 2² · 3³

任意给定一个 正整数 n(> 1) ,n 的 正因数个数,记为 τ(n),称 τ(n) 为 除数函数。

考虑 n 的 标准素因数分解式 ⑴ ,可分为下面的组:

1, p₁, p₁², …, p₁ᵃ¹ (共 a₁ + 1 个)

1, p₂, p₂², …, p₂ᵃ² (共 a₂ + 1 个)

1, pᵣ, pᵣ², …, pᵣᵃʳ (共 aᵣ + 1 个)

显然,n 的每个因数,就是从上面每组里任意选择一个数,然后将它们连乘的结果,所有肯能结果的个数是:

(a₁ + 1)(a₂ + 1)…(aᵣ + 1)

这就是 τ(n),即,

τ(n) = (a₁ + 1)(a₂ + 1)…(aᵣ + 1) = ∏ʳᵢ₌₁ aᵢ + 1

例如:

τ(108) = (2 + 1) · (3 + 1) = 12

又引入定义:对于 任意正整数 n, m ∈ Z₊,若 存在 正整数 a ∈ Z₊ 满足 a | n 并且 a | m 则称 a 是 n 和 m 的 公因数(也称 公约数),将 n 和 m 的所有 公因数 中 最大的那个 称为 最大公因数,记为 (n, m) 或 gcd(n,m)。

如果 (n, m) = 1,则称 n 和 m 互素(或 互质)。例如:

108 和 49 互素:49 = 7²,(108, 49) = 1

108 和 9 不互素:9 = 3²,(108, 9) = 9

进一步观察我发现性质: 当 n 和 m 互素,即, (n, m) = 1 时,有 τ(nm) = τ(n)τ(m)。

例如:

108 · 49 = 2² · 3³ · 7²

τ(108 · 49) = (2 + 1)(3 + 1)(2 + 1) = 36

τ(49) = (2 + 1) = 3

τ(108 · 49) = 36 = 12 · 3 = τ(108) · τ(49)

而 当 (n, m) ≠ 1 时,上面的性质不成立,例如:

108 · 9 = 2² · 3⁵

τ(108 · 9) = (2 + 1)(5 + 1) = 18

τ(9) = (2 + 1) = 3

τ(108 · 9) = 18 ≠ 36 = 12 · 3 = τ(108) · τ(9)

定义:如果 数论函数 f 满足,

f(nm) = f(n)f(m),(n, m) = 1

则称 f 是积性函数。

注:积性函数 是 最重要的 数论函数,在 Mobius 变换 中起到重要作用,以后有机会 给大家介绍。τ(n) 显然 就是 积性函数。

顺便:在初等数论中,还定义了 除数和函数 σ(n) ,它的值为 正整数 n(>1) 的 所有正因数之和,根据上面的经验知下面的展开式的项,包含 n 的所有正因数:

(1 + p₁ + p₁² + … + p₁ᵃ¹)(1 + p₂ + p₂² + … + p₂ᵃ²) … (1 + pᵣ + pᵣ² + … + pᵣᵃʳ)

因此,

σ(n) = (1 + p₁ + p₁² + … + p₁ᵃ¹)(1 + p₂ + p₂² + … + p₂ᵃ²) … (1 + pᵣ + pᵣ² + … + pᵣᵃʳ)

= ((p₁ᵃ¹⁺¹ – 1) / (p₁ – 1))((p₂ᵃ²⁺¹ – 1) / (p₂ – 1))…((pᵣᵃʳ⁺¹ – 1) / (pᵣ – 1))

=∏ʳᵢ₌₁ (pᵢᵃⁱ⁺¹ – 1) / (pᵢ – 1)

如果是在 有理数域 Q 上考虑题主的问题呢?对于 有理数集 Q 中任意 一个非零 的 数 x(≠0) 必然存在 x 的倒数 x⁻¹ = 1,因此 对于 任意 有理数 y ∈ Q,y ≠ 0,必然有:

y = yx⁻¹ · x

根据 上面 因数的 定义 非零的 x 是任何非零 y 的 因数。

故,在有理数范围内考虑,一个非零有理数 x 的因数必然有 |Q\{0}| = ℵ₀ 个。

注: A \ B 是差集运算,即,从 集合 A 中 除去 集合 B 中包含的元素。对于 实数域 R 和 复数域 C 和 有理数域 Q 类似,于是有:

在实数 或 复数 范围内考虑,一个非零实数 x 或 非零复数 z 的因数必然有 |R\{0}| = ℵ₁ 或 |C\{0}| = ℵ₁ 个。

注: |A| 表示 集合A 中 的元素个数。对于无限集合,我们用 ℵ₀, ℵ₁, … 来区别表示它们的元素个数,其中 只有 ℵ₀ 是可列的。最后,考虑 一下 0 的因数。根据 因数定义,0 不是任何 数的因数,而又因为 任何数 x 乘以 0 都是 0,即,

0 = x · 0

所以,任何非零数 x 都是 0 的因子。

故,分别在 整数、有理数、实数、复数 范围内,0 的因子数分别是 |Z\{0}| = ℵ₀ 、 |Q\{0}| = ℵ₀、 |R\{0}| = ℵ₁ 、 |C\{0}| = ℵ₁ 个。

(由于本人水平有限,以上回答题主和大家仅供参考,另外,也欢迎各位老师批评指正。)

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