首先，泰勒公式没有对于自变量取值的使用条件，只是我们常用x在0附近的泰勒展开，其又称为公式。式是解析函数在0附近的幂级数表达式，与x从那个方向趋向于0无关。因为对于一个解析函数，只要x在0附近，都可以麦克劳林展开，而不管x在0附近的变化情况。所以不论x从哪个方向趋向于0，都不影响泰勒公式的使用条件（注意其本质原因是泰勒公式的使用条件根本上就与x如何取值无关，而在于函数是否连续可导麦克劳林；只不过我们常用在0点附近的展开，但x如何趋向于0本就不是判断泰勒公式能否使用的条件
麦克劳林公式:麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式。
arctanx＝x-1/3*x^3+1/5*x^5-1/7*x^7+1/9*x^9+…+（-1）^(n+1)/(2n-1)*x^(2n-1)
使用条件：
①麦克劳林公式无论什么条件下都能使用，关键是展开的项数不能少于最低要求。x的趋向是要求的极限决定的，与展开式无关。
②注意是参与加减运算的两部分的极限必须都是存在的。这是由极限的四则混合运算规则决定的。
麦克劳林公式 是泰勒公式（在x。=0下）的一种特殊形式。
若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f”(0)/2!·x^2,+f”'(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn
其中Rn是公式的余项，可以是如下：
1.佩亚诺(Peano)余项：
Rn(x) = o(x^n)
2.尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项：
Rn(x) = f(n+1)(θx)(1-θ)^(n+1-p)x^(n+1)/(n!p)
[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]
3.拉格朗日(Lagrange)余项：
Rn(x) = f(n+1)(θx)x^(n+1)/(n+1)!
[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]
4.柯西(Cauchy)余项：
Rn(x) = f(n+1)(θx)(1-θ)^n x^(n+1)/n!
[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]
5.积分余项：
Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n!
[f(n+1)是f的n+1阶导数]
